Matematik

Standart Sapma Hesaplama

Virgülle ayrılmış bir sayı listesinden popülasyon standart sapmasını hesaplayın — değerlerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığının bir ölçüsüdür.

Hesapla

Yazarken güncellenir

Sonuç

—

Formül

Popülasyon standart sapması, ortalamadan karesel uzaklıkların ortalamasının kareköküdür. Bu hesap makinesi N’ye böler (popülasyon biçimi). Örneklem standart sapması genellikle N−1’e bölünür (Bessel düzeltmesi).

σ = √(Σ(x − μ)² / N)

Çalışılmış örnek

  1. Veri: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (N = 8)
  2. Ortalama μ = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 5
  3. Varyans = karesel sapmaların ortalaması = 4; σ = √4 = 2

Sonuç: σ = 2

Standart sapma nasıl hesaplanır

Standart sapma, “bu veri seti ne kadar dağınık?” sorusunu verinin kendi birimiyle yanıtlar.

Popülasyon mu örneklem mi?

Veri, ilgilendiğiniz tüm popülasyonu kapsıyorsa N’ye bölün. Veri, daha büyük bir popülasyonun standart sapmasını tahmin etmek için kullanılan bir örneklemse N−1’e bölün. Elektronik tablolardaki STDEV.P ile STDEV.S ayrımı da bu seçimi yansıtır. Bu sayfa popülasyon standart sapmasını (÷ N) kullanır.

Varyans ilişkisi

Varyans σ² (veya s²) değeridir. Standart sapma, orijinal birimlere (lira, saniye, puan) geri döndüğü için yorumlaması daha kolaydır.

Normal dağılımda kaba kural

Yaklaşık çan eğrisi şeklindeki veriler için değerlerin yaklaşık %68’i ortalamanın 1 standart sapma içinde, %95’i 2 içinde, %99,7’si 3 içinde yer alır. Ağır kuyruklar ve aykırı değerler bu kuralı bozar — sadece σ’ya değil, grafiklere de bakın.

İlginç bilgiler

Normal dağılımın merkezinde

Standart sapma, bilim, mühendislik ve finansta kullanılan Gauss (normal) dağılımının temel parametresidir.

ÖSYM sınavlarında standart sapma

Türkiye’de YKS gibi merkezi sınavlarda ham puanlar, standart sapma kullanılarak standart puana (Z puanı, T puanı) dönüştürülür; bu da farklı oturumlardaki sınavların adil şekilde karşılaştırılmasını sağlar.

Popülasyon ve örneklem

n’ye bölmek popülasyon standart sapmasını tahmin eder; n−1’e bölmek (Bessel düzeltmesi) ise yaygın örneklem tahmincisidir.

Veriyle aynı birim

Varyansın aksine standart sapma orijinal birimdedir — ortalamanın yanında yorumlamak daha kolaydır.

Aykırı değerler σ’yı şişirir

Tek bir uç değer standart sapmayı belirgin şekilde artırabilir. Kuyruklar ağırsa medyan ve çeyrekler arası açıklık daha güvenilir olabilir.

Sıkça sorulan sorular

Önce ortalamayı bulun, ortalamadan sapmaların karesini alıp ortalamasını hesaplayın (burada N’ye bölünür), sonra karekökünü alın. Sayılarınızı virgülle ayırarak yapıştırın; hesaplama otomatik yapılır.

Popülasyon standart sapmasıdır (N’ye bölünür). Daha büyük bir popülasyonun örneklem tahmini için ÷(N−1) kullanılmalıdır.

Bağlama ve ortalamaya bağlıdır. σ’yı tipik ölçüm büyüklüğüyle karşılaştırın veya ölçekler farklıysa değişim katsayısını (σ/μ) kullanın.

Her zaman değil. Yatırımda yüksek σ genellikle daha yüksek volatilite (risk) anlamına gelir. Üretimde ise yüksek σ zayıf süreç kontrolüne işaret edebilir. Bağlama göre yorumlayın.

Evet, aynı matematiksel temeli paylaşır: önce sınav puanlarının standart sapması hesaplanır, ardından her adayın ham puanı bu standart sapmaya göre standart puana çevrilir. Bu araç size doğrudan σ değerini verir; resmi standart puan dönüşümü ÖSYM’nin kendi formülünü kullanır.

Kaynaklar

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook — ölçek ölçüleri — National Institute of Standards and Technology Standart sapma ve ilgili ölçek ölçüleri hakkında yetkin genel bakış.
  2. İstatistik terimleri ve tanımları — Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) Türkiye’de resmi istatistiklerde kullanılan temel dağılım ölçüleri için ulusal kaynak.