Mathematik

Standardabweichung-Rechner

Berechnen Sie die Populations-Standardabweichung aus einer kommagetrennten Zahlenliste — ein Maß dafür, wie stark Werte um den Mittelwert streuen.

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Ergebnis

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Die Formel

Die Populations-Standardabweichung ist die Wurzel aus dem Mittel der quadrierten Abstände zum Mittelwert. Dieser Rechner teilt durch N (Populationsform). Die Stichproben-Standardabweichung teilt üblicherweise durch N−1 (Bessel-Korrektur).

σ = √(Σ(x − μ)² / N)

Rechenbeispiel

  1. Daten: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (N = 8)
  2. Mittelwert μ = (2+4+4+4+5+5+7+9)/8 = 5
  3. Varianz = Mittel der quadrierten Abweichungen = 4; σ = √4 = 2

Ergebnis: σ = 2

So wird die Standardabweichung berechnet

Die SD beantwortet „Wie stark streut diese Menge?“ in denselben Einheiten wie die Daten.

Population versus Stichprobe

Teilen Sie durch N, wenn die Daten die gesamte interessierende Population sind. Teilen Sie durch N−1, wenn die Daten eine Stichprobe sind, um die SD einer größeren Population zu schätzen. In Tabellenkalkulationen spiegeln STDEV.P und STDEV.S diese Wahl wider. Diese Seite nutzt die Populations-SD (÷ N).

Beziehung zur Varianz

Die Varianz ist σ² (oder s²). Die SD lässt sich leichter interpretieren, weil sie zu den Original-Einheiten zurückkehrt (Euro, Sekunden, Punktzahlen).

Faustregel bei annähernd normalen Daten

Bei grob glockenförmigen Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb 1 SD vom Mittelwert, 95 % innerhalb 2 und 99,7 % innerhalb 3. Schwere Ränder und Ausreißer brechen diese Regel — prüfen Sie Diagramme, nicht nur σ.

Interessante Fakten

Gauß und Statistik

Die Standardabweichung ist zentral für die Normalverteilung (Gauß), die in Wissenschaft, Technik und Finanzen genutzt wird.

Population vs. Stichprobe

Division durch n schätzt die Populations-SD; durch n−1 (Bessel-Korrektur) ist der übliche Stichproben-Schätzer.

Gleiche Einheit wie Daten

Anders als die Varianz bleibt die SD in Original-Einheiten — leichter neben dem Mittelwert zu lesen.

68–95–99,7-Regel

Bei annähernd normalen Daten liegen ~68 % innerhalb 1 SD, ~95 % innerhalb 2, ~99,7 % innerhalb 3.

Ausreißer blähen auf

Ein Extremwert kann die SD stark erhöhen. Median und IQR helfen bei schweren Rändern.

Häufig gestellte Fragen

Mittelwert finden, die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert mitteln (hier durch N teilen), dann die Wurzel ziehen. Fügen Sie Ihre Zahlen kommagetrennt ein, um automatisch zu rechnen.

Populations-SD (Division durch N). Für eine Stichprobenschätzung einer größeren Population verwenden Sie ÷ (N−1).

Das hängt vom Kontext und vom Mittelwert ab. Vergleichen Sie σ mit typischen Messgrößen, oder nutzen Sie den Variationskoeffizienten (σ/μ), wenn die Skalen unterschiedlich sind.

Nicht immer. Beim Investieren bedeutet höhere SD oft mehr Volatilität (Risiko). In der Fertigung kann höhere SD schlechtere Prozesskontrolle bedeuten. Immer im Fachkontext deuten.

Quellen

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook — Streuungsmaße — National Institute of Standards and Technology Autoritative Übersicht zur Standardabweichung und verwandten Streuungsmaßen.
  2. Statistik-Definitionen (SD) — Australian Bureau of Statistics Verständliche behördliche Erklärung der Standardabweichung.