محاسبه جایگشت
وقتی ترتیب مهم است — رتبهبندی، تخصیص صندلی، الگوی رمز، مسیر و زمانبندی — از این ابزار استفاده کنید.
محاسبه
محاسبه
نتیجه
فرمول
جایگشت استاندارد r شیء از n را انتخاب و مرتب میکند: nPr = n!/(n−r)!. با اجازهٔ تکرار، هر جایگاه n انتخاب دارد پس کل آرایشها n^r است. جایگشت دایرهای تقارن چرخشی را حذف میکند و (n−۱)! نشستن متمایز دور میز گرد میدهد.
مثال حلشده
- جایگشت استاندارد با n = ۵ و r = ۳.
- nPr = ۵!/(۵−۳)! = ۵!/۲! = (۵×۴×۳×۲×۱)/(۲×۱).
- نتیجه: ۶۰ آرایش مرتب.
نتیجه: 5P3 = ۶۰
شمارش جایگشت چگونه انجام میشود
فرمولهای جایگشت خروجیهای مرتب را میشمارند. همان اقلام با ترتیب متفاوت، نتیجهٔ جدا حساب میشوند.
جایگشت استاندارد (nPr)
وقتی r قلم متمایز از n گزینه انتخاب میکنید و ترتیب مهم است. فقط وقتی n و r عدد صحیح نامنفی و n ≥ r باشند معتبر است.
جایگشت با تکرار (n^r)
وقتی هر جایگاه میتواند هر یک از n گزینه را دوباره بگیرد (مثلاً رمز قفل با رقم تکراری). کل آرایشها n به توان r است.
جایگشت دایرهای ((n−۱)!)
برای نشستن دور میز گرد، چرخشها معادلاند (ABC همان دایرهٔ BCA است)؛ یک جایگاه ثابت میشود و شمارش به (n−۱)! کاهش مییابد.
محدودیت ورودی
این ابزار اعداد صحیح میخواهد. n خیلی بزرگ ممکن است از دقت امن عدد صحیح جاوااسکریپت فراتر رود؛ برای بازههای شمارش عملی در نظر گرفته شده است.
واقعیتهای جالب
ترتیب جواب را عوض میکند
انتخاب A، B، C یک ترکیب است، اما ABC، ACB، BAC، BCA، CAB و CBA شش جایگشت متفاوتاند.
فاکتوریل سریع بزرگ میشود
۱۰! از قبل ۳٬۶۲۸٬۸۰۰ است. به همین دلیل شمارش جایگشت زود بزرگ میشود.
حالت دایرهای تکراریها را حذف میکند
در دایره، چرخاندن همه یک صندلی آرایش تازه نمیسازد؛ پس شمارش از نشستن خطی کمتر است.
در کنکور و احتمال ایران
در ریاضی گسسته و احتمال کنکور، جایگشت و ترکیب زبان رایج سؤالهای شمارشیاند؛ فرق «ترتیب مهم است یا نه» را همیشه چک کنید.
پرسشهای رایج
جایگشت به ترتیب اهمیت میدهد؛ ترکیب نمیدهد. اگر رتبه یا جایگاه مهم است، جایگشت بگیرید.
وقتی r قلم از n بدون تکرار انتخاب میکنید و ترتیب آرایش مهم است.
وقتی یک گزینه میتواند در چند جایگاه تکرار شود، مثل رقم تکراری در رمز.
چون چرخاندن همه با هم همان الگوی نشستن است؛ یک جایگاه مرجع ثابت میشود تا بیششماری نشود.
خیر. شمارش جایگشت با اعداد صحیح نامنفی است.
منابع
- ترکیبیات — دانشنامهٔ رشد زمینهٔ آموزشی جایگشت و ترکیب در برنامهٔ درسی ایران.
- NIST SP 811 — Percentage and counting context مرجع عمومی دقت عددی و نمادگذاری علمی.