מחשבון לוגריתם
מתאים למודלים מעריכיים, ריבית דריבית ודעיכה, סולמות pH ודציבלים, ולתרגול אלגברה שבו הלוגריתם מבודד מעריך לא ידוע.
חשב
חשב
תוצאה
הנוסחה
לוגריתם עונה על השאלה: לאיזו חזקה צריך להעלות את הבסיס b כדי לקבל את x? הזהות הבסיסית היא y = log_b(x), השקולה ל־x = b^y. אפשר לפתור כל אחד מהמשתנים כששניים האחרים ידועים.
דוגמה מפורטת
- נתון: x = 64 ו־b = 2.
- מחשבים y = log_b(x) = ln(64)/ln(2).
- תוצאה: y = 6.
תוצאה: log₂(64) = 6
איך מחשבון הלוגריתם עובד
כל מצב מפעיל צורה אלגברית אחת של אותה מערכת מעריכית.
מציאת לוגריתם y = log_b(x)
השתמשו במצב זה כש־x (הערך) ו־b (הבסיס) ידועים. תחום ההגדרה: x > 0, b > 0, ו־b ≠ 1.
מציאת ערך x = b^y
השתמשו במצב זה כשהבסיס b והמעריך y ידועים. התוצאה היא הערך שמתקבל מצמיחה או דעיכה מעריכית.
מציאת בסיס b = x^(1/y)
השתמשו במצב זה כש־x ו־y ידועים. אילוצים: x > 0 ו־y ≠ 0. בנוסף b חייב להישאר חיובי ושונה מ־1.
תקינות קלט ומקרי קצה
לוגריתמים אינם מוגדרים ל־x שאינו חיובי או לבסיסים לא חוקיים. אם השילוב מחוץ לתחום, המחשבון מסתיר את התוצאה במקום להציג ערך מטעה.
עובדות מעניינות
החלפת בסיס לא משנה את המשמעות
אפשר לחשב log_b(x) באמצעות לוגריתם טבעי: ln(x)/ln(b). לכן מחשבונים יכולים להעריך לוגריתם לכל בסיס תקין.
ln הוא פשוט בסיס e
הלוגריתם הטבעי משתמש ב־e ≈ 2.71828 ומופיע הרבה בפיננסים, בביולוגיה ובמשוואות דיפרנציאליות — גם בחומרי לימוד של משרד החינוך לבגרות במתמטיקה.
סולמות לוגריתמיים דוחסים טווחים עצומים
pH, סולם ריכטר ודציבלים משתמשים בלוגריתמים כדי להשוות הפרשים כפליים גדולים בטווח מספרי קטן יותר.
שימושים יומיומיים וטכנולוגיים
לוגריתמים מופיעים בכימיה (pH), באקוסטיקה (dB), בעוצמת רעידות אדמה, ובחישובי צמיחה מצטברת — למשל בריבית דריבית בחיסכון.
שאלות נפוצות
חייבים x > 0, b > 0 ו־b ≠ 1. אחרת הלוגריתם אינו מוגדר במספרים ממשיים.
כן. מעריך שלילי משמעו צמיחה הפוכה, ולכן x הופך לשבר כש־b > 1.
כי 1 בחזקת כל מעריך נשאר 1, ולכן לא ניתן לקבל ערכי לוגריתם ייחודיים.
ln פירושו בסיס e. בהרבה הקשרים «log» מציין בסיס 10, אבל במתמטיקה עדיף לציין את הבסיס במפורש.
כן. בחרו במצב «מציאת בסיס» עם x ו־y ידועים וחשבו b = x^(1/y).
מקורות
- לוגריתמים — חומר לימוד לבגרות הקשר לימודי ישראלי לפונקציות לוגריתמיות ומעריכיות.
- NIST Guide to the SI הנחיות כמותיות עקביות לחישובים מדעיים והנדסיים.