מחשבון צירופים
ספרו צירופים כשסדר הבחירה לא משנה — ועדה, הגרלה או חבילות מוצרים. השוו לתמורות; ב-n ו-r קטנים תראו את החישוב והרשימה המלאה.
חשב
בחרו r מתוך n בלי חזרות, סדר לא נספר. nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!)
תוצאה
הנוסחה
צירוף רגיל בוחר r פריטים מתוך n בלי סדר: nCr = n!/[r!(n−r)!]. עם חזרות מותרות: C(n+r−1, r). בהקשרי קיבוץ מעגלי עדיין משתמשים בכללי בחירה לא־סדורה אלא אם סדר הישיבה עצמו חשוב.
דוגמה מפורטת
- צירוף רגיל עם n = 5 ו־r = 3.
- nCr = 5!/[3!(5−3)!] = 5!/(3!·2!).
- תוצאה: 10 קבוצות ייחודיות.
תוצאה: 5C3 = 10
איך סופרים צירופים
נוסחאות צירוף סופרות קבוצות לא־סדורות. אותם חברים בסדר אחר עדיין נחשבים לצירוף אחד.
צירוף רגיל (nCr)
השתמשו כשבוחרים r פריטים שונים מתוך n אפשרויות שונות והסדר לא משנה. תקף למספרים שלמים לא־שליליים עם n ≥ r.
צירוף עם חזרה
השתמשו כשפריט יכול להופיע יותר מפעם בקבוצה (למשל בחירת כדורי גלידה כשהטעמים יכולים לחזור). הנוסחה: C(n+r−1, r).
קשר לתמורות
תמורות סופרות סידורים; צירופים מאחדים את הסידורים לקבוצה אחת. nCr = nPr / r!.
מגבלות קלט
הקלטים צריכים להיות מספרים שלמים. ערכים גדולים מאוד עלולים לחרוג ממגבלות תצוגה מעשיות — השתמשו בטווחים ריאליסטיים.
עובדות מעניינות
הסדר מתעלמים ממנו
הקבוצה {א,ב,ג} זהה ל־{ג,ב,א}; חשובה רק השייכות.
קשר למשולש פסקל
כל מקדם בינומי במשולש פסקל הוא ערך צירוף nCr.
צירופים גדלים מהר
גם ערכים בינוניים גדולים: למשל 52C5 = 2,598,960 ידיים בפוקר.
הגרלות ומבחני קבלה
בישראל מופיעים צירופים בשאלות בגרות במתמטיקה ובמבחני כניסה — וגם בתכנון ועדות והגרלות בית־ספריות.
שאלות נפוצות
צירוף מתעלם מסדר; תמורה סופרת סדר. השתמשו בצירופים לבחירת קבוצה, ובתמורות לדירוג או סידור.
כשבוחרים r פריטים מתוך n בלי חזרה ובלי אכפתיות לסדר.
כשאותה אפשרות יכולה להופיע כמה פעמים בבחירה אחת.
לא. בצירוף רגיל נדרש n ≥ r.
לא. ספירת צירופים משתמשת במספרים שלמים לא־שליליים.
זה בדיוק 10C3 = 120 — סדר השמות בוועדה לא יוצר ועדה חדשה.
מקורות
- קומבינטוריקה — רקע לימודי הקשר לימודי ישראלי לנושאי צירופים ותמורות.
- מקדם בינומי (nCr) הגדרה וזהויות של מקדמים בינומיים (nCr).