מחשבון תמורות
השתמשו במחשבון זה כשסדר חשוב — דירוגים, הקצאת מושבים, דפוסי PIN, רצפי מסלול וסידורי לוחות זמנים.
חשב
חשב
תוצאה
הנוסחה
תמורות סטנדרטיות בוחרות ומסדרות r פריטים מתוך n: nPr = n!/(n−r)!. עם חזרה מותרת, לכל משבצת יש n אפשרויות ולכן סך הסידורים הוא n^r. תמורות מעגליות מתקנות סימטריית סיבוב ונותנות (n−1)! ישיבות מובחנות סביב שולחן עגול.
דוגמה מפורטת
- תמורה סטנדרטית עם n = 5 ו־r = 3.
- nPr = 5!/(5−3)! = 5!/2! = (5×4×3×2×1)/(2×1).
- תוצאה: 60 סידורים מסודרים.
תוצאה: 5P3 = 60
איך מחושבים מספרי תמורות
נוסחאות תמורה סופרות תוצאות מסודרות. אותם פריטים שנבחרו בסדר אחר נספרים כתוצאה שונה.
תמורה סטנדרטית (nPr)
השתמשו בזה כשבוחרים r פריטים מובחנים מתוך n אפשרויות מובחנות והסדר חשוב. תקף רק כש־n ו־r הם מספרים שלמים לא־שליליים עם n ≥ r.
תמורה עם חזרה (n^r)
השתמשו בזה כשכל מיקום יכול לעשות שימוש חוזר בכל אחת מ־n האפשרויות (למשל קודי מנעול שבהם ספרות יכולות לחזור). סך הסידורים הוא n כפול עצמו r פעמים.
תמורה מעגלית ((n−1)!)
לישיבה סביב שולחן עגול, סיבובים שקולים (ABC הוא אותו מעגל כמו BCA), ולכן מקבעים מיקום אחד והסידורים מצטמצמים ל־(n−1)!.
אילוצי קלט
המחשבון מצפה למספרים שלמים. n גדול מאוד יכול לחרוג מדיוק מספר שלם בטוח של JavaScript, ולכן התוצאות מיועדות לטווחי ספירה מעשיים — כולל תרגילי בגרות.
עובדות מעניינות
סדר משנה את התשובה
בחירת א, ב, ג היא צירוף אחד, אבל אבג, אגב, באג, בגא, גאב וגבא הן שש תמורות שונות.
עצרות גדלות מהר
10! כבר 3,628,800. הצמיחה הזו מסבירה למה מספרי תמורות גדלים במהירות.
מקרים מעגליים מסירים כפילויות
במעגל, סיבוב כולם במושב אחד אינו יוצר סידור חדש, ולכן הספירות קטנות מישיבות ליניאריות.
תמורה מול צירוף בבגרות
בתוכנית הלימודים הישראלית מבחינים בבירור בין תמורות (סדר חשוב) לצירופים (סדר לא חשוב) — השתמשו במחשבון הצירופים כשסדר אינו רלוונטי.
שאלות נפוצות
תמורה מתחשבת בסדר; צירוף לא. אם דירוג או מיקום חשובים, השתמשו בתמורה.
השתמשו ב־nPr כשבוחרים r פריטים מתוך n בלי לחזור על פריטים, וסדר הסידור חשוב.
השתמשו בחזרה כשאפשרות יכולה להופיע יותר מפעם אחת בין מיקומים, כמו ספרות חוזרות בקוד.
כי סיבוב כולם יחד נותן אותו דפוס ישיבה, מקבעים מיקום ייחוס אחד כדי למנוע ספירת יתר.
לא. ספירת תמורות משתמשת במספרים שלמים לא־שליליים.
מקורות
- קומבינטוריקה — חומר לימוד לבגרות הקשר לימודי ישראלי לתמורות, צירופים ועצרות.
- NIST Guide to the SI הנחיה כמותית כללית לחישובים מדויקים.