Tính tổ hợp
Dùng máy tính này khi thứ tự không quan trọng — chọn ủy ban, xổ số, gói sản phẩm và chọn thực đơn.
Tính
Tính
Kết quả
Công thức
Tổ hợp chuẩn chọn r phần tử từ n không kể thứ tự: nCr = n!/[r!(n−r)!]. Cho phép lặp thì số là C(n+r−1, r). Với nhóm vòng, quy tắc chọn không thứ tự vẫn áp dụng trừ khi thứ tự chỗ ngồi tự nó quan trọng.
Ví dụ minh họa
- Tổ hợp chuẩn với n = 5 và r = 3.
- nCr = 5!/[3!(5−3)!] = 5!/(3!·2!).
- Kết quả: 10 nhóm duy nhất.
Kết quả: 5C3 = 10
Cách đếm tổ hợp
Công thức tổ hợp đếm nhóm không thứ tự. Cùng thành viên theo thứ tự khác vẫn là một tổ hợp.
Tổ hợp chuẩn (nCr)
Dùng khi chọn r phần tử khác nhau từ n lựa chọn và thứ tự không tính. Hợp lệ với số nguyên không âm và n ≥ r.
Tổ hợp có lặp
Dùng khi phần tử trong nhóm được phép lặp (ví dụ viên kem vị được lặp). Công thức: C(n+r−1, r).
Quan hệ với hoán vị
Hoán vị đếm sắp xếp; tổ hợp gộp các sắp xếp đó thành một nhóm. nCr = nPr / r!.
Giới hạn đầu vào
Đầu vào phải là số nguyên. Giá trị rất lớn có thể vượt giới hạn hiển thị thực tế; dùng khoảng hợp lý cho câu hỏi lập kế hoạch.
Sự thật thú vị
Thứ tự không đóng vai trò
Nhóm {A,B,C} cùng tổ hợp với {C,B,A}; chỉ thành viên đếm.
Liên hệ tam giác Pascal
Mỗi hệ số nhị thức trong tam giác Pascal là một giá trị tổ hợp nCr — quen thuộc trong chương trình toán phổ thông Việt Nam.
Tổ hợp tăng nhanh
Giá trị vừa phải cũng lớn, ví dụ 52C5 = 2.598.960 tay poker.
Xổ số và trò chơi may rủi
Ở xổ số, tổ hợp các số đếm chứ không phải thứ tự bạn khoanh — đúng nCr. Các kỳ Vietlott cũng dựa trên tổ hợp số.
Câu hỏi thường gặp
Tổ hợp không kể thứ tự; hoán vị có. Dùng tổ hợp để chọn nhóm, hoán vị cho xếp hạng hoặc sắp xếp.
Dùng nCr khi chọn r phần tử từ n không lặp và thứ tự không quan trọng.
Dùng có lặp khi cùng lựa chọn được xuất hiện nhiều lần trong một chọn.
Không. Tổ hợp chuẩn yêu cầu n ≥ r.
Không. Đếm tổ hợp dùng số nguyên không âm.
Tài liệu tham khảo
- Binomial coefficient Tham chiếu hình thức hệ số nhị thức / nCr.
- Tổ hợp (combination) Tổng quan tổ hợp chuẩn và có lặp.