Tính hoán vị
Tính số cách sắp xếp có thứ tự từ n đối tượng. Chọn hoán vị chuẩn (nPr), có lặp, hoặc sắp xếp vòng. Bổ sung máy tính tổ hợp cho bài xác suất và rời rạc.
Tính
Tính
Kết quả
Công thức
nPr = n! / (n−r)!. Có lặp: n^r. Hoán vị vòng n đối tượng khác nhau: (n−1)!.
Ví dụ minh họa
- n = 5, r = 3 → P(5,3) = 5×4×3 = 60
- Có lặp: 5³ = 125
- Vòng 5 đối tượng: 4! = 24
Kết quả: P(5,3) = 60
Cách tính hoán vị
Hoán vị đếm sắp xếp có thứ tự; tổ hợp bỏ qua thứ tự.
nPr chuẩn
Chọn r từ n không lặp, thứ tự quan trọng. Tính bằng tích n×(n−1)×…×(n−r+1).
Có lặp và vòng
Có lặp, mỗi vị trí có n lựa chọn → n^r. Với bàn tròn, xoay coi như giống nhau nên (n−1)!.
Những gì không được mô hình hóa
Không đối tượng giống nhau một phần (cần n!/n₁!n₂!…), hay ràng buộc vị trí đặc biệt. Dùng công thức nâng cao cho các trường hợp đó.
Ví dụ bài điển hình
Sắp ban với chức vụ khác dùng nPr. Mã PIN 4 chữ số chữ số được trùng dùng n^r. Ghế quanh bàn tròn không phân biệt xoay dùng (n−1)!.
Nếu có đối tượng giống nhau (ví dụ hai quyển sách giống), chia cho giai thừa số lần xuất hiện — chế độ trang này chưa gồm trường hợp đó.
Sự thật thú vị
Thứ tự phân biệt hoán vị
ABC và ACB đếm khác nhau ở hoán vị, nhưng giống nhau ở tổ hợp.
Giai thừa tăng rất nhanh
10! = 3.628.800. Số lớn xuất hiện nhanh — kiểm xem bài có yêu cầu tổ hợp không.
Bài thi và Olympiad Việt Nam
Hoán vị và tổ hợp thường xuất hiện trong đề thi THPT, đại học và học sinh giỏi.
Mật khẩu và PIN
Nếu chữ số được lặp, mô hình là n^r; nếu không, gần nPr (kèm ràng buộc thêm).
Tổ hợp là cặp gần
C(n,r) = P(n,r) / r!. Nếu bài không quan tâm thứ tự, chia kết quả hoán vị cho r! hoặc dùng máy tính tổ hợp.
Câu hỏi thường gặp
P(n,r) = n! / (n−r)!. Ví dụ P(5,3) = 60.
Hoán vị quan tâm thứ tự; tổ hợp không. Chọn chủ tịch–thư ký là hoán vị; chọn 2 thành viên từ 5 không chức vụ là tổ hợp.
Khi đối tượng được dùng lại ở mỗi vị trí — ví dụ chữ số mã được trùng.
Sắp xếp trên vòng mà xoay cả sắp xếp coi như giống: (n−1)!.
Với nPr không lặp, không hợp lệ. Chế độ có lặp vẫn cho phép n^r.
Tài liệu tham khảo
- Combinatorics — permutations Nền toán rời rạc và giai thừa.
- Chương trình toán phổ thông — tổ hợp xác suất Bối cảnh chương trình Việt Nam về hoán vị và tổ hợp.