組み合わせ計算
順番が問題にならないときに使います——委員会選び、宝くじ、商品バンドル、メニュー選択など。
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結果
計算式
標準の組み合わせは順番なしでn個からr個を選ぶ: nCr = n!/[r!(n−r)!]。重複を許すと個数は C(n+r−1, r)。円形グループでも、座席順そのものが数えられない限り、順序なしの選択規則が続きます。
計算例
- 標準組み合わせで n = 5、r = 3。
- nCr = 5!/[3!(5−3)!] = 5!/(3!·2!)。
- 結果: 10通りのユニークなグループ。
結果: 5C3 = 10
組み合わせの数え方
組み合わせの公式は順序なしのグループを数えます。同じメンバーを別順に並べても1通りです。
標準組み合わせ（nCr）
n個の選択肢から異なるr個を選び、順番が問題にならないときに使います。非負整数で n ≥ r が必要です。
重複ありの組み合わせ
グループ内で同じ項目が繰り返せるとき（例: 味の重複を許すアイスの玉）に使います。公式: C(n+r−1, r)。
順列との関係
順列は並べ方を数え、組み合わせはそれらを1グループにまとめます。nCr = nPr / r!。
入力の制約
入力は整数である必要があります。極端に大きい値は表示の実用限界を超えることがあります。計画の問いは現実的な範囲で。
豆知識
順番は関係ない
チーム {A,B,C} は {C,B,A} と同じ組み合わせで、メンバーシップだけが効きます。
パスカルの三角形との関係
パスカルの三角形の各二項係数は組み合わせ nCr です。高校数学の「場合の数」でおなじみです。
組み合わせは急増する
中程度の値でも大きくなります。例: 52C5 = 2,598,960（ポーカーの手）。
宝くじは組み合わせ
宝くじでは数字の組み合わせが効き、記入する順番は問いません——まさに nCr です。
よくある質問
組み合わせは順番を数えず、順列は数えます。グループ選びは組み合わせ、順位や並べ替えは順列です。
n個からr個を、重複なし・順番なしで選ぶときに使います。
同じ選択肢が1回の選択で複数回現れ得るときに使います。
いいえ。標準組み合わせは n ≥ r が必要です。
いいえ。組み合わせの数え上げは非負整数を使います。
参考資料
- Combinations — from Wolfram MathWorld 二項係数と組み合わせの数学的定義。
- 高等学校学習指導要領（数学） 日本の高校数学における場合の数・組合せの教育的文脈。