連立方程式の計算
未知数が2つの連立1次方程式を解くツールです。代数、直線の交点、混合や費用の文章題に使えます。
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結果
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計算式
2×2系は a1x + b1y = c1 と a2x + b2y = c2 と書けます。行列式 D = a1b2 − a2b1 が0でなければ、ちょうど1組の解があります。
D = a1b2 − a2b1 · x = (c1b2 − c2b1)/D · y = (a1c2 − a2c1)/D
計算例
- 2x + y = 11 と x − y = 1 が与えられている。
- 辺々を足すと 3x = 12。
- よって x = 4、続けて y = 3。
結果: x = 4, y = 3
連立の解き方
行列式の判定で、一意解・解なし・無限解のどれかを見分けます。
一意解
D ≠ 0 なら、クラメルの公式や消去法で x と y を求めます。
解なし
係数が比例して定数項が比例しないとき、直線は平行で交わりません。
無限に多くの解
両式が同じ直線を表すとき、その直線上のすべての点が解です。
実務での読み方
解は2直線の交点です。予算、混合、損益分岐、2条件のつり合い問題に現れます。中学・高校の数学でも定番です。
豆知識
行列式が結果を決める
D ≠ 0 なら交点は1つ、D = 0 なら平行か一致です。
交点のモデル
連立を解くことは、2本の直線がどこで交わるかを求めることと同じです。
文章題への応用
混合問題、コストと利益の分岐、資源配分、2条件の運動問題などで使われます。
日本の学習課程
中学数学で二元一次の連立を学び、高校では行列やベクトルの入口にもつながります。
よくある質問
解がないか、解が無限にあります。係数と定数の比例関係で区別します。
はい。整数解とは限りません。
はい。負の係数や定数も有効です。
はい。未知数2つ・式2本向けです。
2直線の交点です。
参考資料
- 中学校学習指導要領（数学）関連資料 連立方程式の学習内容に関する公的文脈。
- 線形代数の基礎（公開教材の入口） 連立と行列の入門教材への参照。